Travail d'une force

Imaginons qu’on souhaite déplacer une grosse pierre posée sur le sol, horizontal, en poussant dessus. Appelons   \(\vec{F}\)   la force exercée par la personne qui pousse, force horizontale qu’on suppose constante (elle ne varie pas). Si la pierre se déplace d’un point  \(\text A\) vers un point \(\text{B}\) , la personne fournit de l’énergie. Parce que la personne se fatigue, on appelle travail de la force    \(\vec{F}\)   l’énergie fournie par la personne. On le note   \(W_{\text A\rightarrow \text B}\) .

PARTIE A Un premier constat

On souhaite déplacer cette même grosse pierre en tirant une corde (verte), toujours avec la même intensité de force, avec une direction à 30° de l'horizontale. Comme une force est un vecteur, on peut la décomposer comme somme de deux vecteurs orthogonaux : l’un horizontal \(\vec{F_x}\) , l’autre vertical \(\vec{F_y}\) . On a \(\vec{F} =\vec{F_x} + \vec{F_y}\) . On admet que le travail de la somme de deux forces est égal à la somme des travaux de chacune des forces. La pierre est déplacée horizontalement entre le point  \(\text A\) et le point \(\text B\) , comme auparavant.

Selon vous, la composante verticale de la force contribue-t-elle au mouvement ? La personne a-t-elle travaillé pour soulever la pierre ? En déduire une relation entre le travail \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\) et le travail \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F_x})\) .

PARTIE B Un deuxième constat

Alex, sur son skateboard, tient son chien Filippo en laisse. Filippo se met à courir, ce qui tend la laisse. Alex, initialement immobile, tire sur le collier de Filippo, il exerce une force \(\vec{F}\) qu’on considère comme horizontale et constante. Le skateboard d’Alex se met en mouvement, et Filippo avance du point  \(\text A\) jusqu’au point \(\text B\) .

Alex apporte-t-il de l’énergie à Filippo, ou est-ce l’inverse ? En déduire le signe du travail de la force  \(\vec{F}\) entre   \(\text A\) et \(\text B\) .

PARTIE C Formalisation mathématique
Le travail d'une force constante  \(\vec{F}\) qui agit sur un corps se déplaçant   d'un point \(\text{A}\) à un point \(\text{B}\) est le produit scalaire des vecteurs  \(\vec{F}\)  et \(\vec{\text A\text B}\) et se note  \(W_{\text A\rightarrow \text B}(\vec F)=\vec{F}\cdot \vec{\text A\text B}\) . Il se calcule ainsi :  \(W_{\text A\rightarrow \text B}(\vec F)=\lVert\vec{F}\lVert\times \lVert\vec{\text A\text B}\lVert \times \cos\left(\alpha\right)\) où \(\alpha\) est la mesure de l'angle géométrique formé par les directions des vecteurs  \(\vec{F}\)   et \(\vec{\text A\text B}\) .
À l'aide de la définition donnée :
1. retrouver la relation entre le travail \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F})\) et le travail  \(W_{A \rightarrow B}(\vec{F_x})\) lors du déplacement de la pierre.
2. justifier que le travail de la force exercée par Alex tout au long du déplacement de Filippo   du point \(\text{A}\) au point \(\text{B}\)   est négatif.

Merci à Julien Browaeys, physicien, maître de conférences à l'université Paris Cité, pour l’expertise et les conseils.