Travail d'une force

Imaginons qu’on souhaite déplacer une grosse pierre posée sur le sol, horizontal, en poussant dessus. Appelons   $\overrightarrow{F}$   la force exercée par la personne qui pousse, force horizontale qu’on suppose constante (elle ne varie pas). Si la pierre se déplace d’un point  $\text{A}$ vers un point $\text{B}$ , la personne fournit de l’énergie. Parce que la personne se fatigue, on appelle travail de la force    $\overrightarrow{F}$   l’énergie fournie par la personne. On le note   $W_{\text{A}\to \text{B}}$ .

PARTIE A Un premier constat

On souhaite déplacer cette même grosse pierre en tirant une corde (verte), toujours avec la même intensité de force, avec une direction à 30° de l'horizontale. Comme une force est un vecteur, on peut la décomposer comme somme de deux vecteurs orthogonaux : l’un horizontal $\overrightarrow{F_x}$ , l’autre vertical $\overrightarrow{F_y}$ . On a $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_x}+\overrightarrow{F_y}$ . On admet que le travail de la somme de deux forces est égal à la somme des travaux de chacune des forces. La pierre est déplacée horizontalement entre le point  $\text{A}$ et le point $\text{B}$ , comme auparavant.

Selon vous, la composante verticale de la force contribue-t-elle au mouvement ? La personne a-t-elle travaillé pour soulever la pierre ? En déduire une relation entre le travail $W_{A\to B}(\overrightarrow{F})$ et le travail $W_{A\to B}(\overrightarrow{F_x})$ .

PARTIE B Un deuxième constat

Alex, sur son skateboard, tient son chien Filippo en laisse. Filippo se met à courir, ce qui tend la laisse. Alex, initialement immobile, tire sur le collier de Filippo, il exerce une force $\overrightarrow{F}$ qu’on considère comme horizontale et constante. Le skateboard d’Alex se met en mouvement, et Filippo avance du point  $\text{A}$ jusqu’au point $\text{B}$ .

Alex apporte-t-il de l’énergie à Filippo, ou est-ce l’inverse ? En déduire le signe du travail de la force  $\overrightarrow{F}$ entre   $\text{A}$ et $\text{B}$ .

PARTIE C Formalisation mathématique
Le travail d'une force constante  $\overrightarrow{F}$ qui agit sur un corps se déplaçant   d'un point $\text{A}$ à un point $\text{B}$ est le produit scalaire des vecteurs  $\overrightarrow{F}$  et $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ et se note  $W_{\text{A}\to \text{B}}(\overrightarrow{F})=\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ . Il se calcule ainsi :  $W_{\text{A}\to \text{B}}(\overrightarrow{F})=\Vert \overrightarrow{F}\Vert \times \Vert \overrightarrow{\text{A}\text{B}}\Vert \times \cos \left(\alpha \right)$ où $\alpha$ est la mesure de l'angle géométrique formé par les directions des vecteurs  $\overrightarrow{F}$   et $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$ .
À l'aide de la définition donnée :
1. retrouver la relation entre le travail $W_{A\to B}(\overrightarrow{F})$ et le travail  $W_{A\to B}(\overrightarrow{F_x})$ lors du déplacement de la pierre.
2. justifier que le travail de la force exercée par Alex tout au long du déplacement de Filippo   du point $\text{A}$ au point $\text{B}$   est négatif.

Merci à Julien Browaeys, physicien, maître de conférences à l'université Paris Cité, pour l’expertise et les conseils.